Учите геометрию в 11 классе и ищете информацию о объеме цилиндра? Наша статья представляет формулу объема цилиндра и подробные объяснения для лучшего понимания материала. Освойте тему объема цилиндра легко и уверенно с нашей помощью!
Конспект урока: Объём цилиндра
Объем
План урока
- Формула объёма цилиндра;
- Примеры.
Цели урока
- Знать формулу объёма цилиндра;
- Уметь применять формулу объёма цилиндра для решения задач.
Разминка
- Что такое цилиндр?
- Чему равен объём прямой призмы, площадь основания которой равна 4, а боковое ребро – 7?
- Как найти площадь основания цилиндра?
Объём цилиндра
Рис. 1. Призма вписана в цилиндр
В окружающей нас природе существует множество объектов, являющихся физическими моделями цилиндра. Например, трубопровод, по которому движутся нефть, газ, вода, жерло вулкана, кровеносные сосуды. Многие детали машин имеют форму цилиндра или представляют собой некоторое их сочетание. Вычисление объёма цилиндра – необходимый навык во многих областях.
Рис. 2. Призма описана около цилиндра
Вспомним, что призма
вписана в цилиндр
(рис. 1), если её основания вписаны в основания цилиндра, если же призма
описана около цилиндра
(рис. 2), то её основания описаны около оснований цилиндра. В обоих случаях высоты цилиндра и призмы равны.
Формула для вычисления объёма цилиндра очень похожа на формулу объёма прямой призмы. Вспомним, что объём прямой призмы равен произведению площади основания на высоту призмы.
Запишем теорему для объёма цилиндра.
Теорема
Объём цилиндра равен произведению площади основания на высоту, т.е. Vцилиндра=Sосн·h.
Рис. 3. Нахождение объёма цилиндра
Докажем эту теорему.
Пусть есть цилиндр, радиус основания которого равен R, а высота – h. Впишем в цилиндр правильную призму P1 (рис. 3 – зеленая призма), а правильную призму P2 опишем около этого цилиндра (рис. 3 – синяя призма).
Можно сделать вывод, что объём призмы P1 меньше объема цилиндра, так как она вписана, а объём призмы P2, наоборот, больше, т.е.
VP1<Vцилиндра<VP2.
Объём любой прямой призмы можно вычислить по формуле: Vпризмы=Sосн·h. Тогда
SP1·h<Vцилиндра<SP2·h.
В основании призмы P1 лежит правильный n-угольник, вписанный в окружность радиуса R. При этом, если n→∞, то SP1→πR2.
В основании призмы P2 лежит правильный n-угольник, описанный около окружности радиуса R. При этом, если n→∞, то πR2→SP2.
Получили:
SP1·h<Vцилиндра<SP2·hSP1→πR2 при n→∞πR2→SP2 при n→∞
Тогда можно сделать вывод, что Vцилиндра=πR2·h.
Основанием цилиндра является круг радиуса R, площадь которого равна площади круга, т.е. Sосн=πR2. Таким образом, объем цилиндра есть произведение площади основания на высоту.
Теорема доказана.
Пример 1
Площадь боковой поверхности цилиндра равна 12π, а диаметр основания равен 6. Найдите объём цилиндра.
Решение
Объём цилиндра можно вычислить по формуле Vцилиндра=Sосн·h, где Sосн=πR2.
Диаметр основания равен 6, радиус в два раза меньше диаметра, т.е. R=3.
Вспомним формулу площади боковой поверхности цилиндра: Sбок=2πRh. Из этой формулы можно найти высоту цилиндра:
h=Sбок2πR=12π2π·3=2.
Тогда объём цилиндра равен
Vцилиндра=πR2·h=π·32·2=18π.
Ответ: 18π.
Пример 2
В цилиндрический сосуд налили 2800 см3 воды. Уровень жидкости оказался равным 16 см. В воду полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 13 см (рис. 4). Найдите объём детали. Ответ выразите в см3.
Решение
Рис. 4. Сосуд, имеющий форму цилиндра
Объём детали равен объему вытесненной жидкости, т.е. Vдетали=Sосн·h2.
Площадь основания выразим через исходный объём, получим
Sосн=Vисходныйh1=280016=175 см2.
Тогда
Vдетали=Sосн·h2=175·13=2275 см3.
Ответ: 2275 см3.
Упражнение 1
1. Объём цилиндра равна 150π, а высота равна 6. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
2. В цилиндрический сосуд, в котором находится 4 дм3 воды, опустили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся в 2,5 раза. Чему равен объём детали? Ответ выразите в дм3.
3. В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 147 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 7 раз больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.
Контрольные вопросы
1. Как найти объём цилиндра?
2. Какая фигура имеет такую же формулу для нахождения объёма?
Ответы
Упражнение 1
1. 60π.
2. 6 дм3.
3. 3 см.
Предыдущий урок
Объём шара
Объем
Следующий урок
Вписанный четырёхугольник
Окружность
Как посчитать куб в цилиндре?
Для того, чтобы вычислить объем куба, необходимо знать длину, ширину и высоту, так как у куба все ребра равны между собой.
Объем куба вычисляется по формуле: V = a^3, где «V» — объем, а «a» — длина ребра куба.
Чтобы вычислить объем цилиндра, необходимо знать радиус основания (r) и высоту (h).
Объем цилиндра вычисляется по формуле: V = πr^2h, где «V» — объем, «π» — число пи (около 3,14), «r» — радиус основания цилиндра, «h» — высота цилиндра.
Отметим, что куб не имеет формы цилиндра, поэтому у них разные формулы для вычисления объема.